Fale mechaniczne: kalkulator strun, dźwięku, Dopplera i dudnień

Częstotliwość należy do źródła, prędkość do ośrodka

Zależność v = λf obowiązuje dla każdej fali, ale w falach mechanicznych ma następstwo mniej widoczne przy świetle: prędkość jest własnością ośrodka, a nie fali. Mocniej napięta struna przenosi szybciej, ciepłe powietrze szybciej niż zimne. Częstotliwość natomiast narzuca to, co falę wytwarza, i nigdy nie zmienia się przy przejściu do innego ośrodka. Gdy dźwięk przechodzi z powietrza do wody, częstotliwość zostaje, prędkość rośnie mniej więcej czterokrotnie, a wraz z nią długość fali.

Na strunie prędkość idzie jak pierwiastek ilorazu napięcia i gęstości liniowej. Ten pierwiastek sprawia, że strojenie instrumentu jest robotą precyzyjną: podniesienie częstotliwości o dziesięć procent wymaga dwudziestu procent więcej napięcia, a podwojenie wymagałoby napięcia czterokrotnego, którego struna by nie zniosła. To także powód, dla którego niskie dźwięki uzyskuje się cięższymi strunami, a nie śmiesznie małym napięciem.

Efekt Dopplera i dudnienia to dwa różne sposoby łączenia się częstotliwości. Doppler zmienia częstotliwość pojedynczego źródła, bo zmienia rytm docierania czoł fal; dudnienia rodzą się natomiast z dwóch nieruchomych źródeł o bliskich częstotliwościach, które okresowo wchodzą w zgodność faz i z niej wychodzą. Pierwsze zależy od ruchu, drugie nie — pomylenie ich to najczęstszy błąd pojęciowy w tym rozdziale.

Częste błędy

Przekonanie, że częstotliwość zmienia się przy przejściu do innego ośrodka: zmieniają się prędkość i długość fali, a częstotliwość nie. Ustala ją źródło.
Traktowanie prędkości na strunie jako proporcjonalnej do napięcia: idzie ona jak pierwiastek kwadratowy. Czterokrotne napięcie podwaja prędkość, a nie czterokrotnie ją zwiększa.
Użycie wzoru Dopplera z zamienionym źródłem i obserwatorem: obie sytuacje nie dają tego samego. Prędkość obserwatora wchodzi do licznika, a prędkość źródła do mianownika.
Dodawanie decybeli jak natężeń: dwa źródła po 60 dB dają razem około 63 dB, a nie 120, bo dodają się natężenia i dopiero potem bierze się logarytm.

Często zadawane pytania

Od czego zależy prędkość dźwięku w powietrzu?

Praktycznie tylko od temperatury: około 331 m/s przy 0 °C, z przyrostem 0,6 m/s na każdy stopień. Nie zależy od ciśnienia, bo wraz z ciśnieniem rośnie również gęstość i oba efekty się znoszą.

Dlaczego cięższa struna brzmi niżej?

Ponieważ prędkość fali wynosi √(T/µ): przy tym samym napięciu większa gęstość liniowa oznacza mniejszą prędkość. Częstotliwość podstawowa to v/(2L), więc mniejsza prędkość daje niższą częstotliwość. Dlatego basowe struny gitary są owijane.

Czym różni się efekt Dopplera od dudnień?

Doppler dotyczy jednego źródła i bierze się z ruchu względnego: przy zbliżaniu czoła fal docierają gęściej i odbierana częstotliwość rośnie. Dudnienia dotyczą dwóch nieruchomych źródeł o nieco różnych częstotliwościach, które na przemian się wzmacniają i wygaszają.

Czym jest częstotliwość dudnień?

To bezwzględna różnica obu częstotliwości: dźwięki 440 i 444 Hz dają 4 pulsacje na sekundę. Uwaga: znając dudnienia, możliwe są dwie częstotliwości — jedna powyżej, druga poniżej odniesienia.

Dlaczego decybele się nie dodają?

Bo to skala logarytmiczna. Podwojenie natężenia dodaje około 3 dB, a nie podwaja liczby decybeli. Każde 10 dB to czynnik dziesięć: 70 dB to dziesięciokrotne natężenie w stosunku do 60 dB.

Jak działa to obliczenie

Zależność podstawowa: v = λ·f, obowiązująca dla każdej fali. Fala poprzeczna na napiętej strunie: v = √(T/µ), gdzie T to napięcie, a µ masa na jednostkę długości. Prędkość dźwięku w suchym powietrzu: v ≈ 331,3 + 0,606·T przy T w stopniach Celsjusza. Efekt Dopplera: f' = f·(v + v₀)/(v − vₛ), prędkości dodatnie, gdy zbliżają źródło i obserwatora; dla vₛ ≥ v wzór traci ważność i powstaje fala uderzeniowa. Dudnienia: f_b = |f₁ − f₂|; przy znanym f_b pasują dwie częstotliwości, f ± f_b. Poziom dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀) z I₀ = 10⁻¹² W/m², skąd I = I₀·10^(β/10). Struna zamocowana na obu końcach: fₙ = n·v/(2L) przy całkowitym n, a długość fali n-tej harmonicznej wynosi 2L/n.

Fale elektromagnetyczne i optyka

Długość fali i częstotliwość, energia fotonu, prawo Snella, natężenie i prążki interferencyjne.

Polaryzacja i dyfrakcja

Optyka falowa: Malus, Brewster, dyfrakcja, zdolność rozdzielcza i interferencja.

Soczewki i zwierciadła

Optyka geometryczna: ogniskowa, odległość obrazu, powiększenie i zdolność skupiająca.