Physik
Rechner für mechanische Wellen: Saiten, Schall, Doppler und Schwebungen
Wähle die Beziehung und lösche die gesuchte Größe. Anders als beim Licht ist die Geschwindigkeit hier keine Konstante: sie gehört dem Medium – der Spannung einer Saite oder der Temperatur der Luft.
Die Frequenz gehört der Quelle, die Geschwindigkeit dem Medium
Die Beziehung v = λf gilt für jede Welle, bei mechanischen Wellen hat sie aber eine Folge, die beim Licht weniger auffällt: die Geschwindigkeit ist eine Eigenschaft des Mediums, nicht der Welle. Eine straffere Saite überträgt schneller, warme Luft schneller als kalte. Die Frequenz dagegen gibt derjenige vor, der die Welle erzeugt, und sie ändert sich beim Übergang in ein anderes Medium nie. Geht Schall von Luft in Wasser über, bleibt die Frequenz, die Geschwindigkeit vervierfacht sich näherungsweise und die Wellenlänge mit ihr.
Auf der Saite geht die Geschwindigkeit mit der Wurzel aus Spannung durch Längendichte. Diese Wurzel ist der Grund, warum Stimmen eine feine Arbeit ist: zehn Prozent höhere Frequenz verlangen zwanzig Prozent mehr Spannung, und eine Verdopplung verlangte die vierfache Spannung, die keine Saite überstünde. Sie ist auch der Grund, warum tiefe Töne von schwereren Saiten kommen und nicht von lächerlich schlaffen.
Doppler-Effekt und Schwebung sind zwei verschiedene Arten, wie sich Frequenzen verbinden. Doppler verändert die Frequenz einer einzigen Quelle, weil sich der Takt ändert, in dem die Wellenfronten eintreffen; Schwebungen entstehen dagegen aus zwei ruhenden Quellen mit nahe beieinander liegenden Frequenzen, die periodisch in und außer Phase geraten. Das eine hängt von Bewegung ab, das andere nicht – beides zu verwechseln ist der häufigste Denkfehler des Kapitels.
Häufige Fehler
- Glauben, die Frequenz ändere sich beim Übergang in ein anderes Medium: Geschwindigkeit und Wellenlänge ändern sich, die Frequenz nicht. Sie ist von der Quelle festgelegt.
- Die Geschwindigkeit auf der Saite als proportional zur Spannung behandeln: sie geht mit deren Quadratwurzel. Vierfache Spannung verdoppelt die Geschwindigkeit, sie vervierfacht sie nicht.
- Die Doppler-Formel mit vertauschter Quelle und Beobachter verwenden: die beiden Fälle liefern nicht dasselbe. Die Geschwindigkeit des Beobachters steht im Zähler, die der Quelle im Nenner.
- Dezibel addieren, als wären es Intensitäten: zwei Quellen mit je 60 dB ergeben zusammen etwa 63 dB, nicht 120, denn es addieren sich die Intensitäten und erst danach wird wieder logarithmiert.
Häufige Fragen
Wovon hängt die Schallgeschwindigkeit in Luft ab?
Praktisch nur von der Temperatur: rund 331 m/s bei 0 °C, mit einem Zuwachs von 0,6 m/s je Grad. Vom Druck hängt sie nicht ab, denn mit dem Druck wächst auch die Dichte, und beide Wirkungen heben sich auf.
Warum klingt eine schwerere Saite tiefer?
Weil die Wellengeschwindigkeit √(T/µ) beträgt: bei gleicher Spannung bedeutet größere Längendichte kleinere Geschwindigkeit. Die Grundfrequenz ist v/(2L), also ergibt kleinere Geschwindigkeit kleinere Frequenz. Deshalb sind die Bass-Saiten einer Gitarre umsponnen.
Was ist der Unterschied zwischen Doppler-Effekt und Schwebung?
Doppler betrifft eine einzelne Quelle und entsteht durch Relativbewegung: bei Annäherung treffen die Wellenfronten dichter ein und die wahrgenommene Frequenz steigt. Schwebungen betreffen zwei ruhende Quellen mit leicht verschiedenen Frequenzen, die sich abwechselnd verstärken und auslöschen.
Was ist die Schwebungsfrequenz?
Der Betrag der Differenz beider Frequenzen: Töne mit 440 und 444 Hz ergeben 4 Pulse pro Sekunde. Zu beachten: zu einer gegebenen Schwebung gehören zwei mögliche Töne, einer über und einer unter dem Bezugston.
Warum addieren sich Dezibel nicht?
Weil es eine logarithmische Skala ist. Verdoppelte Intensität fügt etwa 3 dB hinzu, sie verdoppelt die Dezibelzahl nicht. Je 10 dB stehen für den Faktor zehn: 70 dB sind die zehnfache Intensität von 60 dB.
Wie diese Berechnung funktioniert
Grundbeziehung: v = λ·f, gültig für jede Welle. Transversalwelle auf gespannter Saite: v = √(T/µ), mit T als Spannung und µ als Masse je Längeneinheit. Schallgeschwindigkeit in trockener Luft: v ≈ 331,3 + 0,606·T mit T in Grad Celsius. Doppler-Effekt: f' = f·(v + v₀)/(v − vₛ), Geschwindigkeiten positiv, wenn sie Quelle und Beobachter annähern; für vₛ ≥ v verliert die Formel ihre Gültigkeit und es bildet sich eine Stoßfront. Schwebung: f_b = |f₁ − f₂|; zu gegebenem f_b gibt es zwei mögliche Frequenzen, f ± f_b. Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀) mit I₀ = 10⁻¹² W/m², also I = I₀·10^(β/10). Beidseitig eingespannte Saite: fₙ = n·v/(2L) mit ganzzahligem n, und die Wellenlänge der n-ten Oberschwingung ist 2L/n.
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