Ondes mécaniques : cordes, son, Doppler et battements

La fréquence appartient à la source, la vitesse au milieu

La relation v = λf vaut pour toute onde, mais dans les ondes mécaniques elle a une conséquence qu'on remarque moins avec la lumière : la vitesse est une propriété du milieu, non de l'onde. Une corde plus tendue transmet plus vite, l'air chaud plus vite que l'air froid. La fréquence, elle, est imposée par ce qui engendre l'onde et ne change jamais au passage d'un milieu à l'autre. Quand un son passe de l'air à l'eau, la fréquence reste, la vitesse quadruple à peu près, et la longueur d'onde quadruple avec elle.

Sur la corde, la vitesse va comme la racine du rapport tension sur masse linéique. Cette racine explique que l'accord d'un instrument soit un travail fin : monter la fréquence de dix pour cent demande vingt pour cent de tension en plus, et la doubler demanderait une tension quadruple, que la corde ne supporterait pas. C'est aussi pourquoi les notes graves s'obtiennent avec des cordes plus lourdes plutôt qu'avec des tensions ridiculement faibles.

L'effet Doppler et les battements sont deux façons différentes dont les fréquences se combinent. Le Doppler modifie la fréquence d'une source unique parce qu'il modifie la cadence d'arrivée des fronts d'onde ; les battements naissent au contraire de deux sources immobiles aux fréquences voisines, qui entrent et sortent de phase périodiquement. Le premier dépend du mouvement, les seconds non : les confondre est l'erreur conceptuelle la plus fréquente du chapitre.

Erreurs fréquentes

Croire que la fréquence change en passant d'un milieu à l'autre : ce sont la vitesse et la longueur d'onde qui changent, pas la fréquence. Elle est fixée par la source.
Traiter la vitesse sur la corde comme proportionnelle à la tension : elle va comme sa racine carrée. Quadrupler la tension double la vitesse, cela ne la quadruple pas.
Employer la formule de Doppler avec source et observateur intervertis : les deux situations ne donnent pas le même résultat. La vitesse de l'observateur entre au numérateur, celle de la source au dénominateur.
Additionner les décibels comme des intensités : deux sources de 60 dB ensemble donnent environ 63 dB, pas 120, car ce sont les intensités qui s'ajoutent avant qu'on reprenne le logarithme.

Questions fréquentes

De quoi dépend la vitesse du son dans l'air ?

Pratiquement de la seule température : environ 331 m/s à 0 °C, avec une hausse de 0,6 m/s par degré. Elle ne dépend pas de la pression, car lorsque la pression augmente la masse volumique augmente aussi et les deux effets se compensent.

Pourquoi une corde plus lourde sonne-t-elle plus grave ?

Parce que la vitesse de l'onde vaut √(T/µ) : à tension égale, une masse linéique plus grande donne une vitesse plus faible. La fondamentale valant v/(2L), une vitesse plus faible donne une fréquence plus basse. C'est pourquoi les cordes graves d'une guitare sont filées.

Quelle différence entre effet Doppler et battements ?

Le Doppler concerne une source unique et naît du mouvement relatif : en s'approchant, les fronts d'onde arrivent plus serrés et la fréquence perçue monte. Les battements concernent deux sources immobiles de fréquences légèrement différentes, qui se renforcent et s'annulent tour à tour.

Qu'est-ce que la fréquence de battement ?

C'est la différence en valeur absolue des deux fréquences : deux notes à 440 et 444 Hz produisent 4 pulsations par seconde. Attention : connaissant le battement, deux fréquences sont possibles, l'une au-dessus et l'autre au-dessous de la référence.

Pourquoi les décibels ne s'additionnent-ils pas ?

Parce que l'échelle est logarithmique. Doubler l'intensité ajoute environ 3 dB, cela ne double pas le nombre de décibels. Chaque 10 dB vaut un facteur dix : 70 dB représentent dix fois l'intensité de 60 dB.

Comment ce calcul fonctionne

Relation fondamentale : v = λ·f, valable pour toute onde. Onde transversale sur corde tendue : v = √(T/µ), T étant la tension et µ la masse par unité de longueur. Vitesse du son dans l'air sec : v ≈ 331,3 + 0,606·T avec T en degrés Celsius. Effet Doppler : f' = f·(v + v₀)/(v − vₛ), vitesses positives quand elles rapprochent source et observateur ; pour vₛ ≥ v la formule perd sa validité et une onde de choc se forme. Battements : f_b = |f₁ − f₂| ; connaissant f_b, deux fréquences conviennent, f ± f_b. Niveau sonore : β = 10·log₁₀(I/I₀) avec I₀ = 10⁻¹² W/m², d'où I = I₀·10^(β/10). Corde fixée aux deux bouts : fₙ = n·v/(2L) avec n entier, la longueur d'onde de l'harmonique de rang n valant 2L/n.

Ondes électromagnétiques et optique

Longueur d'onde et fréquence, énergie du photon, loi de Snell-Descartes, intensité et franges d'interférence.

Polarisation et diffraction

Optique ondulatoire : Malus, Brewster, diffraction, pouvoir de résolution et interférence.

Lentilles et miroirs

Optique géométrique : focale, distance image, grandissement et vergence.