Soczewki i zwierciadła: kalkulator optyki geometrycznej

Jedno równanie i znaki, które każą mu działać

Optyka geometryczna to jeden z najoszczędniejszych rozdziałów fizyki: jeden wzór, 1/f = 1/p + 1/q, obejmuje soczewki skupiające i rozpraszające, zwierciadła wklęsłe i wypukłe, obrazy rzeczywiste i pozorne. Cała trudność przeniosła się na znaki i tam kończy niemal każdy błąd. Nie ma dwóch wzorów, jednego dla soczewki skupiającej i drugiego dla rozpraszającej: jest jeden wzór i konwencja stosowana bez wyjątków.

Konwencja Gaussa mówi, że p jest dodatnie dla przedmiotu rzeczywistego przed elementem, q dodatnie dla obrazu rzeczywistego po drugiej stronie soczewki, a f dodatnie dla wszystkiego, co skupia. Reszta z tego wynika: jeśli rachunek zwraca ujemne q, obraz jest pozorny i leży po stronie przedmiotu; żaden ekran go nie uchwyci, ale oko widzi go znakomicie — i dokładnie tym jest lupa.

Powiększenie m = −q/p niesie dwie informacje w jednej liczbie. Moduł mówi, o ile obraz jest większy lub mniejszy; znak mówi, czy stoi prosto, czy na głowie. Dla pojedynczej soczewki obie rzeczy są sztywno powiązane: rzeczywisty znaczy odwrócony, pozorny znaczy prosty. Dopiero złożenie kilku elementów — jak w lunecie — rozluźnia te kombinacje.

Częste błędy

Zmienianie wzoru dla soczewki rozpraszającej: wzór jest ten sam, zmienia się tylko znak f. Zapisanie 1/f = 1/p − 1/q, żeby wynik się zgodził, to najszybsza droga do pomylenia wszystkich kolejnych zadań.
Zapominanie, że ogniskowa zwierciadła to połowa promienia: f = R/2. Użycie R zamiast f podwaja odległość obrazu.
Przyjmowanie wszystkich promieni w równaniu szlifierzy za dodatnie: w soczewce dwuwypukłej drugi promień jest ujemny. Przy dwóch równych dodatnich promieniach wzór daje nieskończoną ogniskową, czyli płytkę płaskorównoległą.
Dodawanie ogniskowych dwóch zestawionych soczewek: dodają się zdolności skupiające, a nie ogniskowe. Dwie soczewki po 50 cm dają razem 4 dioptrie, czyli 25 cm, a nie 100 cm.

Często zadawane pytania

Jak brzmi równanie soczewki cienkiej?

1/f = 1/p + 1/q, gdzie f to ogniskowa, p odległość przedmiotu, a q odległość obrazu. To samo równanie obowiązuje dla zwierciadeł sferycznych, z f = R/2.

Jak poznać, czy obraz jest rzeczywisty, czy pozorny?

Po znaku q. Dodatnie q oznacza obraz rzeczywisty: promienie naprawdę się tam zbiegają i można go rzucić na ekran. Ujemne q oznacza obraz pozorny, leżący po stronie przedmiotu i widoczny tylko przy patrzeniu przez soczewkę.

Co oznacza ujemne powiększenie?

Że obraz jest odwrócony względem przedmiotu. Moduł podaje skalę: m = −2 to dwukrotnie większy i do góry nogami, m = 0,5 to dwukrotnie mniejszy i prosty.

Czym są dioptrie?

Zdolność skupiająca to odwrotność ogniskowej wyrażonej w metrach: Z = 1/f. Soczewka o ogniskowej 50 cm ma 2 dioptrie. Zaleta jest taka, że dla cienkich soczewek zestawionych dioptrie dodają się algebraicznie.

Dlaczego zwierciadło wypukłe nie tworzy obrazu rzeczywistego?

Ponieważ jego ogniskowa jest ujemna: odbite promienie rozbiegają się i nigdy się nie spotykają. Obraz jest zawsze pozorny, prosty i pomniejszony — dlatego stosuje się je jako lustra obserwacyjne i szerokokątne lusterka wsteczne.

Jak działa to obliczenie

Równanie soczewki cienkiej i zwierciadła sferycznego: 1/f = 1/p + 1/q, skąd f = pq/(p+q), q = fp/(p−f) oraz p = fq/(q−f). Zwierciadło sferyczne: f = R/2. Równanie szlifierzy soczewek: 1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂), z promieniami dodatnimi tam, gdzie powierzchnia wybrzusza się ku przedmiotowi. Powiększenie poprzeczne: m = −q/p = h'/h. Zdolność skupiająca: Z = 1/f przy f w metrach; dla cienkich soczewek zestawionych zdolności dodają się. Konwencja znaków: p > 0 przedmiot rzeczywisty, q > 0 obraz rzeczywisty, f > 0 element skupiający; wynik ujemny oznacza odpowiednio przedmiot pozorny, obraz pozorny lub element rozpraszający.

Fale mechaniczne

Prędkość na strunie, dźwięk w powietrzu, Doppler, dudnienia i poziom dźwięku.

Fale elektromagnetyczne i optyka

Długość fali i częstotliwość, energia fotonu, prawo Snella, natężenie i prążki interferencyjne.

Polaryzacja i dyfrakcja

Optyka falowa: Malus, Brewster, dyfrakcja, zdolność rozdzielcza i interferencja.

Załamanie światła i prawo Snelliusa

Kąt załamania, kąt graniczny i całkowite wewnętrzne odbicie, z promieniem do przeciągania.