Physik
Hydrostatik-Rechner: Stevin, Pascal, Archimedes
Wähle die Beziehung und lösche die gesuchte Größe: Der Rechner stellt die Formel für dich um. In einer ruhenden Flüssigkeit zählt die Tiefe, nicht die Menge, und ob ein Körper schwimmt, entscheidet die Dichte, nicht das Gewicht.
Es zählt die Tiefe, nicht die Menge
Die ganze Hydrostatik folgt aus einem einzigen Satz: In einer ruhenden Flüssigkeit hängt der Druck von der Tiefe ab und von nichts sonst. Daraus folgt, dass ein dünnes, zehn Meter hohes Rohr auf seinen Boden so stark drückt wie ein zehn Meter tiefer See, dass der Druck an allen Punkten gleicher Höhe derselbe ist und dass er in alle Richtungen wirkt, nicht nur nach unten. Das p₀ im Gesetz von Stevin ist der Druck, der ohnehin schon auf der Flüssigkeit lastet: im offenen Wasser die Atmosphäre mit 101325 Pa. Deshalb ist der Druck in zehn Metern Tiefe etwa doppelt so groß wie an der Oberfläche und nicht etwa gleich.
Die hydraulische Presse ist dasselbe Gesetz von hinten gelesen. Der am kleinen Kolben angelegte Druck pflanzt sich unverändert durch die ganze Flüssigkeit fort, also wirkt am großen Kolben derselbe Druck auf eine größere Fläche und die Kraft wächst im Verhältnis der Flächen. Gewonnen wird aber allein Kraft: Die verschobenen Flüssigkeitsvolumina sind gleich, also legt der kleine Kolben genau so viel mehr Weg zurück, wie seine Kraft kleiner ist. Wer daraus schließt, die Maschine vervielfache Energie, hat die Wege übersehen.
Der Auftrieb schließlich ist nur die Folge davon, dass die Unterseite eines eingetauchten Körpers tiefer liegt als seine Oberseite und daher stärker gedrückt wird. Über die ganze Oberfläche aufsummiert ergibt der Unterschied genau das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Daraus folgt das Kriterium, das in Aufgaben wirklich gebraucht wird: Dichten vergleichen. Dichter als die Flüssigkeit — der Körper sinkt; weniger dicht — er schwimmt und taucht zum Anteil ρ_Körper/ρ_Flüssigkeit ein; gleich dicht — er bleibt schweben, wo man ihn lässt.
Häufige Fehler
- Zu glauben, der Druck hänge von der Flüssigkeitsmenge ab: Er hängt von der Höhe der Säule ab. Zwei verschieden geformte, aber gleich hoch gefüllte Gefäße drücken gleich stark auf den Boden.
- p₀ im Gesetz von Stevin wegzulassen, wenn nach dem absoluten Druck gefragt ist. Der hydrostatische Druck ρgh ist nur der Anteil der Flüssigkeit — darüber steht immer noch die Atmosphäre.
- Zu meinen, der Auftrieb nehme mit der Tiefe zu. Er hängt vom eingetauchten Volumen und von der Dichte der Flüssigkeit ab, nicht davon, wie tief der Körper gesunken ist.
- Das Gewicht statt der Dichte zu benutzen, um über das Schwimmen zu entscheiden. Ein Stahlschiff wiegt Tausende Tonnen und schwimmt, eine Stahlschraube wiegt ein paar Gramm und sinkt: Es zählt die mittlere Dichte des Körpers, hohler Rumpf inklusive.
Häufige Fragen
Warum hängt der Druck in einer Flüssigkeit nicht von der Form des Gefäßes ab?
Weil er nur von der Tiefe abhängt: p = p₀ + ρgh. Ein dünnes, zehn Meter hohes Rohr und ein zehn Meter tiefer See erzeugen am Boden denselben Druck. Das ist das hydrostatische Paradoxon: Es zählt die Höhe der Säule, nicht wie viel Flüssigkeit darüber steht.
Wovon hängt der Auftrieb ab?
Von der Dichte der Flüssigkeit und vom eingetauchten Volumen, und von sonst nichts: nicht vom Material des Körpers, nicht von seiner Masse und nicht einmal von der Tiefe. Es gilt F = ρ_F · g · V_ein, genau das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
Warum schwimmt Eis zu neun Zehnteln unter Wasser?
Weil im Gleichgewicht der eingetauchte Anteil ρ_Körper / ρ_Flüssigkeit beträgt. Eis hat 917 kg/m³ gegenüber 1000 bei Wasser, also bleiben 91,7 % unter Wasser und nur 8,3 % schauen heraus. In dichterem Meerwasser ragt etwas mehr heraus.
Die hydraulische Presse vervielfacht die Kraft — erzeugt sie Energie?
Nein. Die Kraft wird mit dem Flächenverhältnis multipliziert, der Weg aber durch denselben Faktor geteilt: Der kleine Kolben muss weit hinunter, damit der große ein Stück steigt. Zugeführte und abgegebene Arbeit sind gleich.
Was ist der Unterschied zwischen Gewicht und scheinbarem Gewicht?
Das Gewicht ist mg und ändert sich nie. Das scheinbare Gewicht ist das, was eine Waage bei eingetauchtem Körper misst, also Gewicht minus Auftrieb. Ist der Körper weniger dicht als die Flüssigkeit, wird es negativ — losgelassen steigt er auf.
Wie diese Berechnung funktioniert
Dichte: ρ = m/V. Druck: p = F/A, mit der Kraft senkrecht zur Fläche. Gesetz von Stevin: p = p₀ + ρ·g·h, wobei p₀ der Druck auf der freien Oberfläche und h die Tiefe ist; der Term ρ·g·h ist der hydrostatische Druck. Prinzip von Pascal an der hydraulischen Presse: F₁/A₁ = F₂/A₂, also F₂ = F₁·A₂/A₁; die Wege stehen im umgekehrten Verhältnis, d₁/d₂ = A₂/A₁, und die Arbeit bleibt erhalten. Kommunizierende Röhren mit zwei nicht mischbaren Flüssigkeiten, Höhen ab der Grenzfläche gemessen: ρ₁·h₁ = ρ₂·h₂. Auftrieb: F_A = ρ_F·g·V_ein, gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Schwimmgleichgewicht: V_ein/V = ρ_K/ρ_F, nur gültig für ρ_K ≤ ρ_F. Scheinbares Gewicht eines vollständig eingetauchten Körpers: P' = P − F_A = (ρ_K − ρ_F)·V·g, negativ, wenn der Körper aufsteigen will. Alle Rechnungen verwenden g = 9,81 m/s².