Physique
Calculatrice d'optique géométrique : lentilles minces et miroirs sphériques
Choisis la relation et efface la grandeur inconnue. La convention de Gauss s'applique partout : p positive pour un objet réel, q positive pour une image réelle, f positive pour tout ce qui converge. Les lentilles divergentes et les images virtuelles viennent d'elles-mêmes, avec le signe moins.
Une seule équation, et les signes qui la font tenir
L'optique géométrique est l'un des chapitres les plus économes de la physique : une seule formule, 1/f = 1/p + 1/q, couvre lentilles convergentes et divergentes, miroirs concaves et convexes, images réelles et virtuelles. Toute la difficulté s'est déplacée dans les signes, et c'est là que finissent presque toutes les erreurs. Il n'y a pas deux formules, une pour la lentille convergente et une pour la divergente : il y a une formule et une convention appliquée sans exception.
La convention de Gauss pose que p est positive pour un objet réel devant l'élément, que q est positive pour une image réelle de l'autre côté d'une lentille, et que f est positive pour tout ce qui converge. Le reste en découle : si le calcul renvoie une q négative, l'image est virtuelle et se tient du côté de l'objet ; aucun écran ne la recueillera, mais l'œil la voit parfaitement — c'est exactement la loupe.
Le grandissement m = −q/p porte deux informations dans un seul nombre. Son module dit de combien l'image est plus grande ou plus petite ; son signe dit si elle est droite ou renversée. Pour une lentille unique, les deux vont rigidement ensemble : réelle implique renversée, virtuelle implique droite. Ce n'est qu'en combinant plusieurs éléments — comme dans une lunette — que les combinaisons se délient.
Erreurs fréquentes
- Changer de formule pour la lentille divergente : la formule est la même, seul le signe de f change. Écrire 1/f = 1/p − 1/q pour que ça tombe juste est le plus court chemin vers l'échec sur tous les exercices suivants.
- Oublier que la focale du miroir vaut la moitié du rayon : f = R/2. Employer R à la place de f double la distance image.
- Prendre tous les rayons de la formule des opticiens positifs : dans une biconvexe, le second rayon est négatif. Avec deux rayons positifs égaux, la formule donne une focale infinie, c'est-à-dire une lame à faces parallèles.
- Additionner les focales de deux lentilles accolées : ce sont les vergences qui s'ajoutent, pas les focales. Deux lentilles de 50 cm accolées donnent 4 dioptries, soit 25 cm et non 100 cm.
Questions fréquentes
Quelle est l'équation des lentilles minces ?
1/f = 1/p + 1/q, où f est la distance focale, p la distance de l'objet et q celle de l'image. La même équation vaut pour les miroirs sphériques, avec f = R/2.
Comment savoir si une image est réelle ou virtuelle ?
Au signe de q. Une q positive signale une image réelle : les rayons convergent vraiment là et un écran la recueille. Une q négative signale une image virtuelle, située du côté de l'objet et visible seulement en regardant à travers la lentille.
Que signifie un grandissement négatif ?
Que l'image est renversée par rapport à l'objet. Son module donne l'échelle : m = −2 signifie deux fois plus grande et à l'envers, m = 0,5 signifie deux fois plus petite et droite.
Que sont les dioptries ?
La vergence est l'inverse de la distance focale exprimée en mètres : V = 1/f. Une lentille de 50 cm a une vergence de 2 dioptries. L'avantage est que, pour des lentilles minces accolées, les dioptries s'additionnent algébriquement.
Pourquoi un miroir convexe ne forme-t-il pas d'image réelle ?
Parce que sa focale est négative : les rayons réfléchis divergent et ne se rencontrent jamais. L'image est toujours virtuelle, droite et réduite, d'où son emploi comme miroir de surveillance et rétroviseur grand angle.
Comment ce calcul fonctionne
Équation des lentilles minces et des miroirs sphériques : 1/f = 1/p + 1/q, d'où f = pq/(p+q), q = fp/(p−f) et p = fq/(q−f). Miroir sphérique : f = R/2. Formule des opticiens : 1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂), rayons positifs là où la face bombe vers l'objet. Grandissement transversal : m = −q/p = h'/h. Vergence : V = 1/f avec f en mètres ; pour des lentilles minces accolées les vergences s'ajoutent. Convention de signes : p > 0 objet réel, q > 0 image réelle, f > 0 élément convergent ; un résultat négatif indique respectivement un objet virtuel, une image virtuelle ou un élément divergent.
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