Physik
Rechner für Gravitation
Newtonsches Gravitationsgesetz, Fallbeschleunigung an der Oberfläche eines Planeten, Kreisbahnen, Fluchtgeschwindigkeit, drittes Keplersches Gesetz und potentielle Energie. Wähle die Beziehung, lass das gesuchte Feld leer, und die Formel stellt sich selbst um.
Ein Gesetz, vom Apfel bis zu den Planetenbahnen
Das Gravitationsgesetz besagt, dass sich zwei beliebige Massen mit einer Kraft anziehen, die proportional zum Produkt der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ihrer Mittelpunkte ist, F = G·m₁·m₂/r². Die Konstante G ist winzig, 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², und deshalb spürt man die Anziehung zwischen zwei Menschen nicht: Erst die Masse eines Planeten macht daraus ein Gewicht.
Aus diesem Gesetz folgt fast alles andere. An der Oberfläche eines Planeten ist die Kraft auf eine Masse m gleich m·g, also g = G·M/R², und die 9,81 m/s² der Aufgaben sind genau diese Rechnung für die Erde. Auf einer Kreisbahn liefert die Gravitation die Zentripetalkraft: Aus G·M·m/r² = m·v²/r folgt v = √(G·M/r), ohne die Masse des Satelliten. Die Umlaufzeit 2πr/v, quadriert, ergibt das dritte Keplersche Gesetz: T² = 4π²·a³/(G·M), das Kepler in den Daten Tycho Brahes fand und Newton erklärte.
Die Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich dagegen aus der Energie. Ein von der Oberfläche gestarteter Körper entkommt, wenn seine kinetische Energie die ganze potentielle Energie −G·M·m/R aufbringen kann, also wenn ½·m·v² ≥ G·M·m/R: daraus v = √(2·G·M/R), das √2-Fache der Geschwindigkeit einer Bahn dicht über der Oberfläche. Für die Erde sind das 11,2 km/s, gegenüber 7,9 für die niedrigste mögliche Bahn.
Häufige Fehler
- Die Flughöhe statt des Bahnradius verwenden: Der Abstand in der Formel zählt vom Planetenmittelpunkt, für die Raumstation also 6371 + 420 km, nicht 420.
- Das Quadrat beim Abstand vergessen: Doppelter Abstand viertelt die Kraft, halbiert sie nicht.
- Kilometer und Meter mit G mischen: Die Konstante ist in SI-Einheiten, von Hand gerechnet müssen Abstände also in Metern stehen. Diese Seite rechnet selbst um.
- Glauben, in der Umlaufbahn gebe es keine Schwerkraft: In der Höhe der Raumstation beträgt sie noch rund 90 % des Werts am Boden. Die Astronauten schweben, weil sie zusammen mit der Station fallen.
Häufige Fragen
Warum sind Astronauten in der Umlaufbahn schwerelos?
Die Schwerkraft ist durchaus da: In der Höhe der Raumstation beträgt sie etwa 8,6 m/s². Aber die Station und alles darin fallen gemeinsam auf die Erde zu und verfehlen sie dank ihrer Seitwärtsgeschwindigkeit ständig. Da alles gleich beschleunigt fällt, drückt nichts auf den Boden: Es fehlt das scheinbare Gewicht, nicht die Schwerkraft.
Hängt die Fluchtgeschwindigkeit von der Masse der Rakete ab?
Nein. Kinetische und potentielle Energie sind beide proportional zur Masse des startenden Körpers, die sich deshalb herauskürzt. Ein Stein und ein Raumschiff brauchen dieselbe Geschwindigkeit, 11,2 km/s von der Erdoberfläche. Die Masse bestimmt, wie viel Energie insgesamt nötig ist, nicht die Geschwindigkeit.
Wie hoch fliegt ein geostationärer Satellit?
Er muss in einem Sterntag, 23 h 56 min, einmal umlaufen. Das dritte Keplersche Gesetz mit der Erdmasse ergibt einen Radius von etwa 42.164 km vom Mittelpunkt, also rund 35.786 km Höhe. Stell in der Kepler-Beziehung eine Umlaufzeit von 0,99727 Tagen ein, um es zu sehen.
Warum ist die potentielle Gravitationsenergie negativ?
Weil der Nullpunkt ins Unendliche gelegt wird, wo sich zwei Körper nicht mehr anziehen. Beim Annähern verrichtet die Gravitation Arbeit, und die potentielle Energie sinkt unter null. Das Minuszeichen sagt, dass das Paar gebunden ist: Es zu trennen kostet Energie. Das m·g·h der Mechanikaufgaben ist die Näherung davon nahe der Oberfläche.
Wie groß ist G und wie wurde es gemessen?
6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Henry Cavendish maß sie 1798 als Erster mit einer Drehwaage, an der Anziehung zwischen Bleikugeln. Sie ist die am ungenauesten bekannte Naturkonstante, gerade weil die Gravitation zwischen Labormassen so schwach ist.
So funktioniert diese Berechnung
Gravitationsgesetz: F = G·m₁·m₂/r², mit G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Fallbeschleunigung an der Oberfläche: g = G·M/R². Kreisbahn: mit der Gravitation als Zentripetalkraft v = √(G·M/r), Umlaufzeit 2πr/v und Fallbeschleunigung in dieser Höhe G·M/r². Fluchtgeschwindigkeit: aus der Energie ½·v² = G·M/R, also v = √(2·G·M/R), das √2-Fache der Bahngeschwindigkeit dicht über der Oberfläche. Drittes Keplersches Gesetz: T² = 4π²·a³/(G·M), mit mittlerer Geschwindigkeit 2πa/T; für a braucht man die dritte Wurzel. Potentielle Energie: E = −G·m₁·m₂/r, mit dem Nullpunkt im Unendlichen; die Bindungsenergie ist −E. Gerechnet wird in SI-Einheiten: Abstände in km werden mit 1000, Umlaufzeiten in Tagen mit 86.400 multipliziert.
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