Física
Calculadora de gravitação universal
Lei da gravitação de Newton, gravidade na superfície de um planeta, órbitas circulares, velocidade de escape, terceira lei de Kepler e energia potencial. Escolha a relação, deixe vazio o campo que o exercício pede e a fórmula se inverte sozinha.
Uma só lei, da maçã às órbitas
A lei da gravitação universal diz que duas massas quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros, F = G·m₁·m₂/r². A constante G é minúscula, 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², e é por isso que não se sente a atração entre duas pessoas: é preciso a massa de um planeta para que ela vire peso.
Dessa lei sai quase todo o resto. Na superfície de um planeta a força sobre uma massa m é m·g, então g = G·M/R², e os 9,81 m/s² dos problemas são simplesmente essa conta para a Terra. Em uma órbita circular a gravidade faz o papel de força centrípeta: igualando G·M·m/r² a m·v²/r obtém-se v = √(G·M/r), sem a massa do satélite. O período 2πr/v, elevado ao quadrado, dá a terceira lei de Kepler: T² = 4π²·a³/(G·M), que Kepler encontrou nos dados de Tycho Brahe e Newton explicou.
A velocidade de escape, por outro lado, vem da energia. Um corpo lançado da superfície escapa se a sua energia cinética basta para pagar toda a energia potencial −G·M·m/R, ou seja, se ½·m·v² ≥ G·M·m/R: daí v = √(2·G·M/R), √2 vezes a velocidade de uma órbita rente à superfície. Para a Terra são 11,2 km/s, contra 7,9 da órbita mais baixa possível.
Erros frequentes
- Usar a altitude em vez do raio da órbita: a distância na fórmula é medida a partir do centro do planeta, então para a estação espacial é 6371 + 420 km, não 420.
- Esquecer o quadrado da distância: dobrar a distância divide a força por quatro, não por dois.
- Misturar quilômetros e metros com G: a constante está em unidades do SI, então as distâncias devem estar em metros quando se faz a conta à mão. Esta página converte sozinha.
- Pensar que em órbita não há gravidade: na altitude da estação espacial ela ainda vale cerca de 90% da que existe no chão. Os astronautas flutuam porque caem junto com a estação.
Perguntas frequentes
Por que os astronautas em órbita não têm peso?
A gravidade existe, sim: na altitude da estação espacial ela vale cerca de 8,6 m/s². Mas a estação e tudo o que ela contém caem juntos em direção à Terra, errando-a o tempo todo graças à velocidade horizontal. Caindo com a mesma aceleração, nada pressiona o piso: é a ausência de peso aparente, não de gravidade.
A velocidade de escape depende da massa do foguete?
Não. Tanto a energia cinética quanto a potencial são proporcionais à massa de quem parte, que por isso se cancela. Uma pedra e uma nave precisam da mesma velocidade, 11,2 km/s a partir da superfície da Terra. A massa conta para quanta energia é necessária no total, não para a velocidade.
A que altura fica um satélite geoestacionário?
Ele precisa dar uma volta em um dia sideral, 23 h 56 min. A terceira lei de Kepler com a massa da Terra dá um raio de cerca de 42.164 km a partir do centro, ou seja, cerca de 35.786 km de altitude. Informe um período de 0,99727 dia na relação de Kepler para ver.
Por que a energia potencial gravitacional é negativa?
Porque o zero é fixado no infinito, onde dois corpos não se atraem mais. Ao se aproximarem, a gravidade realiza trabalho e a energia potencial desce abaixo de zero. O sinal negativo diz que o par está ligado: separá-lo custa energia. O m·g·h dos problemas de mecânica é a aproximação disso perto da superfície.
Quanto vale G e como foi medido?
6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Henry Cavendish foi o primeiro a medi-lo, em 1798, com uma balança de torção, observando a atração entre esferas de chumbo. É a constante fundamental conhecida com menos precisão, justamente porque a gravidade entre massas de laboratório é fraquíssima.
Como funciona este cálculo
Lei da gravitação: F = G·m₁·m₂/r², com G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Gravidade na superfície: g = G·M/R². Órbita circular: com a gravidade como força centrípeta, v = √(G·M/r), período 2πr/v e gravidade nessa altitude G·M/r². Velocidade de escape: pela energia, ½·v² = G·M/R, então v = √(2·G·M/R), que é √2 vezes a velocidade orbital rente à superfície. Terceira lei de Kepler: T² = 4π²·a³/(G·M), com velocidade média 2πa/T; para obter a usa-se a raiz cúbica. Energia potencial: U = −G·m₁·m₂/r, com o zero no infinito; a energia de ligação é −U. O cálculo é feito em unidades do SI: distâncias em km são multiplicadas por 1000, períodos em dias por 86.400.
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