Physique
Calculateur de gravitation universelle
Loi de la gravitation de Newton, pesanteur à la surface d'une planète, orbites circulaires, vitesse de libération, troisième loi de Kepler et énergie potentielle. Choisissez la relation, laissez vide le champ demandé par l'exercice, et la formule s'inverse toute seule.
Une seule loi, de la pomme aux orbites
La loi de la gravitation universelle dit que deux masses quelconques s'attirent avec une force proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance entre leurs centres, F = G·m₁·m₂/r². La constante G est minuscule, 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², et c'est pourquoi on ne sent pas l'attraction entre deux personnes : il faut la masse d'une planète pour en faire un poids.
Presque tout le reste découle de cette loi. À la surface d'une planète, la force sur une masse m vaut m·g, donc g = G·M/R², et les 9,81 m/s² des exercices ne sont que ce calcul pour la Terre. Sur une orbite circulaire, la gravitation fournit la force centripète : en égalant G·M·m/r² et m·v²/r, on trouve v = √(G·M/r), sans la masse du satellite. La période 2πr/v, élevée au carré, donne la troisième loi de Kepler : T² = 4π²·a³/(G·M), que Kepler avait trouvée dans les données de Tycho Brahe et que Newton a expliquée.
La vitesse de libération vient au contraire de l'énergie. Un corps lancé depuis la surface s'échappe si son énergie cinétique suffit à payer toute l'énergie potentielle −G·M·m/R, c'est-à-dire si ½·m·v² ≥ G·M·m/R : d'où v = √(2·G·M/R), √2 fois la vitesse d'une orbite rasante. Pour la Terre, cela fait 11,2 km/s, contre 7,9 pour l'orbite la plus basse possible.
Erreurs fréquentes
- Prendre l'altitude au lieu du rayon de l'orbite : la distance de la formule se compte depuis le centre de la planète, soit 6371 + 420 km pour la station spatiale, pas 420.
- Oublier le carré de la distance : doubler la distance divise la force par quatre, pas par deux.
- Mélanger kilomètres et mètres avec G : la constante est en unités SI, donc les distances doivent être en mètres pour un calcul à la main. Cette page convertit toute seule.
- Croire qu'il n'y a pas de pesanteur en orbite : à l'altitude de la station spatiale, elle vaut encore environ 90 % de sa valeur au sol. Les astronautes flottent parce qu'ils tombent avec la station.
Questions fréquentes
Pourquoi les astronautes en orbite sont-ils en apesanteur ?
La pesanteur est bien là : à l'altitude de la station spatiale, elle vaut environ 8,6 m/s². Mais la station et tout ce qu'elle contient tombent ensemble vers la Terre, en la manquant sans cesse grâce à leur vitesse horizontale. Tombant avec la même accélération, rien n'appuie sur le plancher : c'est l'absence de poids apparent, pas de gravité.
La vitesse de libération dépend-elle de la masse de la fusée ?
Non. L'énergie cinétique et l'énergie potentielle sont toutes deux proportionnelles à la masse de ce qui part, qui se simplifie donc. Un caillou et un vaisseau ont besoin de la même vitesse, 11,2 km/s depuis la surface terrestre. La masse compte pour l'énergie totale nécessaire, pas pour la vitesse.
À quelle altitude se trouve un satellite géostationnaire ?
Il doit faire un tour en un jour sidéral, 23 h 56 min. La troisième loi de Kepler avec la masse de la Terre donne un rayon d'environ 42 164 km depuis le centre, soit environ 35 786 km d'altitude. Entrez une période de 0,99727 jour dans la relation de Kepler pour le voir.
Pourquoi l'énergie potentielle gravitationnelle est-elle négative ?
Parce que le zéro est fixé à l'infini, là où deux corps ne s'attirent plus. En se rapprochant, la gravitation travaille et l'énergie potentielle descend sous zéro. Le signe moins indique que la paire est liée : la séparer coûte de l'énergie. Le m·g·h des exercices de mécanique en est l'approximation près de la surface.
Que vaut G et comment l'a-t-on mesurée ?
6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Henry Cavendish l'a mesurée le premier en 1798 avec une balance de torsion, en observant l'attraction entre des sphères de plomb. C'est la constante fondamentale la moins bien connue, justement parce que la gravitation entre des masses de laboratoire est très faible.
Comment fonctionne ce calcul
Loi de la gravitation : F = G·m₁·m₂/r², avec G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Pesanteur en surface : g = G·M/R². Orbite circulaire : avec la gravitation comme force centripète, v = √(G·M/r), période 2πr/v et pesanteur à cette altitude G·M/r². Vitesse de libération : par l'énergie, ½·v² = G·M/R, donc v = √(2·G·M/R), √2 fois la vitesse orbitale rasante. Troisième loi de Kepler : T² = 4π²·a³/(G·M), avec la vitesse moyenne 2πa/T ; pour trouver a on prend une racine cubique. Énergie potentielle : U = −G·m₁·m₂/r, nulle à l'infini ; l'énergie de liaison vaut −U. Le calcul se fait en unités SI : les distances en km sont multipliées par 1000, les périodes en jours par 86 400.
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