Fizyka
Kalkulator grawitacji
Prawo powszechnego ciążenia, przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planety, orbity kołowe, prędkość ucieczki, III prawo Keplera i energia potencjalna. Wybierz zależność, zostaw puste pole, o które pyta zadanie, a wzór sam się przekształci.
Jedno prawo, od jabłka po orbity
Prawo powszechnego ciążenia mówi, że dowolne dwie masy przyciągają się siłą proporcjonalną do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między ich środkami, F = G·m₁·m₂/r². Stała G jest maleńka, 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², i dlatego nie czuć przyciągania między dwojgiem ludzi: dopiero masa planety zamienia je w ciężar.
Z tego prawa wynika prawie cała reszta. Na powierzchni planety siła działająca na masę m to m·g, więc g = G·M/R², a 9,81 m/s² z zadań to po prostu ten rachunek dla Ziemi. Na orbicie kołowej grawitacja pełni rolę siły dośrodkowej: z równości G·M·m/r² = m·v²/r wychodzi v = √(G·M/r), bez masy satelity. Okres 2πr/v podniesiony do kwadratu daje III prawo Keplera: T² = 4π²·a³/(G·M), które Kepler znalazł w danych Tychona Brahego, a Newton wyjaśnił.
Prędkość ucieczki wynika natomiast z energii. Ciało wystrzelone z powierzchni ucieknie, jeśli jego energia kinetyczna pokryje całą energię potencjalną −G·M·m/R, czyli jeśli ½·m·v² ≥ G·M·m/R: stąd v = √(2·G·M/R), √2 razy więcej niż prędkość orbity tuż nad powierzchnią. Dla Ziemi to 11,2 km/s, wobec 7,9 dla najniższej możliwej orbity.
Częste błędy
- Używanie wysokości zamiast promienia orbity: odległość we wzorze liczy się od środka planety, więc dla stacji kosmicznej to 6371 + 420 km, a nie 420.
- Zapominanie o kwadracie odległości: podwojenie odległości dzieli siłę przez cztery, a nie przez dwa.
- Mieszanie kilometrów i metrów ze stałą G: stała jest w jednostkach SI, więc licząc ręcznie, odległości trzeba podać w metrach. Ta strona przelicza sama.
- Przekonanie, że na orbicie nie ma grawitacji: na wysokości stacji kosmicznej to wciąż około 90 % wartości przy powierzchni. Astronauci unoszą się, bo spadają razem ze stacją.
Najczęstsze pytania
Dlaczego astronauci na orbicie są w stanie nieważkości?
Grawitacja jak najbardziej działa: na wysokości stacji kosmicznej to około 8,6 m/s². Ale stacja i wszystko w niej spadają razem ku Ziemi, stale ją mijając dzięki prędkości poziomej. Skoro wszystko spada z tym samym przyspieszeniem, nic nie naciska na podłogę: brakuje ciężaru pozornego, nie grawitacji.
Czy prędkość ucieczki zależy od masy rakiety?
Nie. Energia kinetyczna i potencjalna są obie proporcjonalne do masy startującego ciała, która się więc skraca. Kamień i statek kosmiczny potrzebują tej samej prędkości, 11,2 km/s z powierzchni Ziemi. Masa decyduje o tym, ile energii potrzeba w sumie, a nie o prędkości.
Na jakiej wysokości krąży satelita geostacjonarny?
Musi okrążyć Ziemię raz na dobę gwiazdową, 23 h 56 min. III prawo Keplera z masą Ziemi daje promień około 42 164 km od środka, czyli około 35 786 km wysokości. Wpisz okres 0,99727 dnia w zależności Keplera, żeby to zobaczyć.
Dlaczego energia potencjalna grawitacji jest ujemna?
Bo zero przyjmuje się w nieskończoności, gdzie dwa ciała już się nie przyciągają. Gdy się zbliżają, grawitacja wykonuje pracę i energia potencjalna spada poniżej zera. Znak minus mówi, że para jest związana: jej rozdzielenie kosztuje energię. m·g·h z zadań z mechaniki to przybliżenie tego przy powierzchni.
Ile wynosi G i jak ją zmierzono?
6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Pierwszy zmierzył ją Henry Cavendish w 1798 roku za pomocą wagi skręceń, obserwując przyciąganie między ołowianymi kulami. To najmniej dokładnie znana stała podstawowa, właśnie dlatego, że grawitacja między masami laboratoryjnymi jest bardzo słaba.
Jak działa to obliczenie
Prawo ciążenia: F = G·m₁·m₂/r², gdzie G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Przyspieszenie na powierzchni: g = G·M/R². Orbita kołowa: z grawitacją jako siłą dośrodkową v = √(G·M/r), okres 2πr/v i przyspieszenie grawitacyjne na tej wysokości G·M/r². Prędkość ucieczki: z energii ½·v² = G·M/R, więc v = √(2·G·M/R), √2 razy więcej niż prędkość orbity tuż nad powierzchnią. III prawo Keplera: T² = 4π²·a³/(G·M), ze średnią prędkością 2πa/T; do wyznaczenia a potrzebny jest pierwiastek sześcienny. Energia potencjalna: E = −G·m₁·m₂/r, z zerem w nieskończoności; energia wiązania to −E. Obliczenia są w jednostkach SI: odległości w km mnoży się przez 1000, okresy w dniach przez 86 400.
Powiązane kalkulatory
Ruch prostoliniowy i rzut ukośny
Ruch jednostajny, jednostajnie przyspieszony, spadek swobodny i rzut ukośny.
Dynamika i zasady Newtona
Druga zasada, ciężar, tarcie, równia pochyła, siła dośrodkowa i popęd — wzór odwraca się sam.
Zderzenia i pęd
Zderzenia czołowe sprężyste, niesprężyste i pośrednie: prędkości końcowe, utracona energia i popęd.
Dynamika bryły sztywnej
Moment bezwładności, twierdzenie Steinera, moment siły, moment pędu i toczenie, ze wzorem, który sam się przekształca.