Mathématiques
Calculatrice de fractions
Les quatre opérations sur les fractions, avec dénominateur commun, réduction à la plus simple expression et conversion en nombre mixte, en décimal et en pourcentage.
Comment opérer sur les fractions
L'addition et la soustraction exigent que les deux fractions parlent la même langue, c'est-à-dire qu'elles aient le même dénominateur. On cherche le plus petit dénominateur commun — le plus petit commun multiple des deux dénominateurs — on réécrit les deux fractions sur cette base et on additionne les seuls numérateurs. Pour 1/2 + 1/3, le plus petit dénominateur commun est 6 : les fractions deviennent 3/6 et 2/6, et la somme vaut 5/6.
La multiplication et la division sont plus simples et ne demandent aucun dénominateur commun. Dans le produit, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Dans la division, on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde, autrement dit on retourne la seconde et on multiplie : 3/4 ÷ 2/5 devient 3/4 × 5/2 = 15/8.
Réduire à la plus simple expression consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. 8/12 a pour PGCD 4 et se réduit à 2/3 : c'est la même quantité écrite de la façon la plus compacte, et c'est la forme sous laquelle une réponse se rend normalement. Lorsque le numérateur dépasse le dénominateur, la fraction est dite impropre et peut se réécrire en nombre mixte : 7/3 devient 2 et 1/3.
La conversion d'un décimal en fraction est exacte pour les décimaux finis — 0,375 vaut 375/1000, soit 3/8 — et emploie la règle des neuf pour les décimaux périodiques : 0,8333… se reconnaît comme 5/6. C'est la raison pour laquelle une fraction est parfois préférable au décimal : 1/3 est exact, alors que 0,333 est une approximation qui traîne une erreur dans tous les calculs suivants.
Erreurs fréquentes
- Additionner séparément les numérateurs et les dénominateurs : 1/2 + 1/3 ne fait pas 2/5. Il faut d'abord le dénominateur commun.
- Simplifier à travers une somme : dans (a + b)/b on ne peut pas barrer le b, car la simplification ne vaut qu'entre les facteurs d'un produit.
- Oublier de retourner la seconde fraction dans la division, ou retourner la première au lieu de la seconde.
- Laisser le résultat non réduit : 6/8 est juste mais incomplet, la forme attendue est 3/4.
- Traiter un décimal périodique comme s'il était fini : arrondir 1/3 à 0,33 introduit une erreur qui s'amplifie dans les multiplications suivantes.
Questions fréquentes
Comment additionner deux fractions de dénominateurs différents ?
On calcule le plus petit dénominateur commun, on réécrit les deux fractions sur cette base en multipliant numérateur et dénominateur par le même facteur, puis on additionne les numérateurs en laissant le dénominateur inchangé. Le résultat se réduit ensuite à sa plus simple expression.
Comment diviser une fraction par une autre ?
On multiplie la première par l'inverse de la seconde : a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d) / (b × c). L'opération n'est pas définie si c vaut zéro, car cela reviendrait à diviser par zéro.
Qu'est-ce qu'un nombre mixte ?
C'est l'écriture d'une fraction impropre comme somme d'une partie entière et d'une fraction propre : 7/3 équivaut à 2 plus 1/3, ce qui s'écrit 2 1/3. Les deux formes représentent le même nombre.
Comment transformer un décimal en fraction ?
Pour un décimal fini, on écrit le nombre sans la virgule sur un dénominateur égal à 10 élevé au nombre de décimales, puis on simplifie : 0,375 = 375/1000 = 3/8. Pour un décimal périodique, on emploie la règle des neuf : 0,8333… = 5/6.
Comment réduire une fraction à sa plus simple expression ?
On divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. Pour 18/24 le PGCD vaut 6, la fraction réduite est donc 3/4. Si le PGCD vaut 1, la fraction est déjà irréductible.
Comment fonctionne ce calcul
Somme et différence : a/b ± c/d = (a × m/b ± c × m/d) / m, où m est le plus petit commun multiple de b et d. Produit : a/b × c/d = (a × c) / (b × d). Quotient : a/b ÷ c/d = (a × d) / (b × c). Le résultat est réduit en divisant numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur, calculé avec l'algorithme d'Euclide, et le signe est toujours reporté au numérateur.
Calculs liés
Pourcentages
Pourcentage d'un total, hausses, remises, variation en pourcentage et calcul inverse.
Proportions
Terme inconnu, quatrième proportionnelle, moyenne et troisième proportionnelle.
PGCD et PPCM
Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple avec décomposition en facteurs premiers.
Décomposition en facteurs premiers
Facteurs premiers d'un nombre jusqu'à 30 chiffres, avec la division en colonne, les diviseurs et un test de primalité.