Mathematik
Bruchrechner
Die vier Grundrechenarten mit Brüchen, mit Hauptnenner, vollständigem Kürzen und Umwandlung in gemischte Zahl, Dezimalwert und Prozent.
Wie man mit Brüchen rechnet
Addition und Subtraktion setzen voraus, dass beide Brüche dieselbe Sprache sprechen, also denselben Nenner haben. Man sucht den Hauptnenner — das kleinste gemeinsame Vielfache beider Nenner —, schreibt beide Brüche auf diese Basis um und addiert nur die Zähler. Für 1/2 + 1/3 ist der Hauptnenner 6: Die Brüche werden zu 3/6 und 2/6, die Summe ist 5/6.
Multiplikation und Division sind einfacher und brauchen keinen gemeinsamen Nenner. Beim Produkt multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Bei der Division multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten, dreht den zweiten also um und multipliziert: Aus 3/4 ÷ 2/5 wird 3/4 × 5/2 = 15/8.
Vollständiges Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu dividieren. 8/12 hat den ggT 4 und kürzt sich zu 2/3: dieselbe Menge, so kompakt wie möglich geschrieben, und die Form, in der eine Antwort üblicherweise erwartet wird. Übersteigt der Zähler den Nenner, heißt der Bruch unecht und lässt sich als gemischte Zahl schreiben: Aus 7/3 wird 2 und 1/3.
Die Umwandlung einer Dezimalzahl in einen Bruch ist bei endlichen Dezimalzahlen exakt — 0,375 ist 375/1000, also 3/8 — und nutzt bei periodischen die Neuner-Regel: 0,8333… wird als 5/6 erkannt. Deshalb ist ein Bruch dem Dezimalwert manchmal vorzuziehen: 1/3 ist exakt, 0,333 dagegen eine Näherung, die in jede Folgerechnung einen Fehler trägt.
Häufige Fehler
- Zähler und Nenner getrennt addieren: 1/2 + 1/3 ergibt nicht 2/5. Zuerst braucht es den gemeinsamen Nenner.
- Über eine Summe hinweg kürzen: In (a + b)/b darf das b nicht gestrichen werden, denn Kürzen gilt nur zwischen Faktoren eines Produkts.
- Vergessen, den zweiten Bruch bei der Division umzudrehen, oder den ersten statt des zweiten umdrehen.
- Das Ergebnis ungekürzt lassen: 6/8 ist richtig, aber unvollständig — erwartet wird 3/4.
- Eine periodische Dezimalzahl wie eine endliche behandeln: 1/3 auf 0,33 zu runden erzeugt einen Fehler, der sich in weiteren Multiplikationen verstärkt.
Häufige Fragen
Wie addiert man zwei Brüche mit verschiedenen Nennern?
Man bestimmt den Hauptnenner, schreibt beide Brüche auf diese Basis um, indem man Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert, und addiert dann die Zähler bei gleichbleibendem Nenner. Zum Schluss wird das Ergebnis vollständig gekürzt.
Wie dividiert man einen Bruch durch einen anderen?
Man multipliziert den ersten mit dem Kehrwert des zweiten: a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d) / (b × c). Die Rechnung ist nicht definiert, wenn c null ist, denn das käme einer Division durch null gleich.
Was ist eine gemischte Zahl?
Sie ist die Schreibweise eines unechten Bruchs als Summe aus ganzem Anteil und echtem Bruch: 7/3 entspricht 2 plus 1/3, geschrieben 2 1/3. Beide Formen bezeichnen dieselbe Zahl.
Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Bruch um?
Bei einer endlichen Dezimalzahl schreibt man die Zahl ohne Komma über 10 hoch der Anzahl der Nachkommastellen und kürzt: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Bei einer periodischen Dezimalzahl nutzt man die Neuner-Regel: 0,8333… = 5/6.
Wie kürzt man einen Bruch vollständig?
Man teilt Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Bei 18/24 ist der ggT 6, der gekürzte Bruch also 3/4. Ist der ggT gleich 1, ist der Bruch bereits vollständig gekürzt.
So funktioniert diese Berechnung
Addition und Subtraktion: a/b ± c/d = (a × m/b ± c × m/d) / m, wobei m das kleinste gemeinsame Vielfache von b und d ist. Produkt: a/b × c/d = (a × c) / (b × d). Quotient: a/b ÷ c/d = (a × d) / (b × c). Das Ergebnis wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch ihren mit dem euklidischen Algorithmus bestimmten größten gemeinsamen Teiler geteilt werden; das Vorzeichen trägt stets der Zähler.
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