Fizyka
Kalkulator zderzeń i pędu
Dwa ciała zderzające się czołowo. Wpisz masy i prędkości, określ, jak sprężyste jest zderzenie, i odczytaj prędkości końcowe, zachowany pęd oraz utraconą energię kinetyczną.
Co się zachowuje, a co nie
W każdym zderzeniu całkowity pęd się zachowuje: siły, które oba ciała wymieniają, są wewnętrzne wobec układu i zgodnie z trzecią zasadą równe co do wartości i przeciwnie skierowane, więc ich suma nic nie zmienia. Dotyczy to zderzeń sprężystych, niesprężystych i pośrednich — dlatego zawsze zaczyna się właśnie od tego: to jedyne pewne równanie.
Energia kinetyczna zachowuje się natomiast tylko w zderzeniu doskonale sprężystym. W pozostałych część idzie na trwałe odkształcenie, ciepło i dźwięk, a właśnie ta część bywa szukanym wynikiem. W przypadku doskonale niesprężystym ciała pozostają złączone, a strata jest największa: poruszają się dalej z prędkością środka masy, jedyną zgodną z początkowym pędem.
Współczynnik restytucji łączy dwa przypadki, które podręczniki przedstawiają osobno. To stosunek prędkości oddalania się ciał do prędkości, z jaką się zbliżały: wynosi 1 dla zderzenia sprężystego, 0 gdy ciała się sklejają, a wartość pośrednią dla piłki tenisowej czy dwóch samochodów. Jeden wzór, z dwoma znanymi przypadkami na jego krańcach.
Częste błędy
- Pominięcie znaków: ciała zbliżające się do siebie mają prędkości przeciwnych znaków, a dodanie ich jako liczb dodatnich fałszuje całkowity pęd.
- Stosowanie zasady zachowania energii kinetycznej do zderzenia niesprężystego: tam się nie zachowuje, a szukaną liczbą jest właśnie energia utracona.
- Mylenie prędkości zbliżania z sumą prędkości: to różnica, bo liczy się ruch względny.
- Przekonanie, że w zderzeniu niesprężystym traci się także pęd: traci się energię, nigdy pęd.
Często zadawane pytania
Dlaczego pęd zawsze się zachowuje, a energia nie?
Bo pęd zmienia się tylko pod wpływem sił zewnętrznych, a te wymieniane między ciałami są wewnętrzne. Energia kinetyczna może natomiast przejść w inne formy — odkształcenie, ciepło, dźwięk — bez udziału jakiejkolwiek siły zewnętrznej.
Czym jest współczynnik restytucji?
Stosunkiem prędkości oddalania po zderzeniu do prędkości zbliżania przed nim. Wynosi 1 dla zderzenia doskonale sprężystego, 0 gdy ciała pozostają złączone, a w rzeczywistości wartości pośrednie: około 0,75 dla piłki do kosza na parkiecie, znacznie mniej dla dwóch blach.
Co się dzieje przy równych masach?
W zderzeniu sprężystym ciała po prostu wymieniają się prędkościami. To przypadek bil i kołyski Newtona, wynikający z ogólnego wzoru po podstawieniu m₁ = m₂.
Dlaczego prędkość środka masy się nie zmienia?
Bo jest całkowitym pędem podzielonym przez całkowitą masę, a żadna z tych wielkości nie zmienia się podczas zderzenia. Widziane ze środka masy zderzenie jest zawsze symetryczne, co bywa najszybszą drogą do rozwiązania.
Czy dotyczy to także zderzeń skośnych?
Nie, ta strona obejmuje zderzenia czołowe wzdłuż prostej. W dwóch wymiarach pęd zachowuje się składowa po składowej i potrzebne są dwa równania zamiast jednego.
Jak działa to obliczenie
Z zasady zachowania pędu m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂' oraz definicji współczynnika restytucji e = (v₂' − v₁')/(v₁ − v₂) powstaje układ dwóch równań na dwie prędkości końcowe, którego rozwiązaniem jest v₁' = ((m₁ − e·m₂)v₁ + (1 + e)m₂v₂)/(m₁ + m₂) oraz v₂' = ((m₂ − e·m₁)v₂ + (1 + e)m₁v₁)/(m₁ + m₂). Przy e = 1 wracają wzory zderzenia sprężystego, przy e = 0 obie prędkości schodzą się do prędkości środka masy. Energia kinetyczna to ½mv² przed i po, a różnica jest tym, co zderzenie rozproszyło. Podany popęd to m₁(v₁' − v₁); drugie ciało otrzymuje dokładnie przeciwny.
Powiązane kalkulatory
Ruch prostoliniowy i rzut ukośny
Ruch jednostajny, jednostajnie przyspieszony, spadek swobodny i rzut ukośny.
Dynamika i zasady Newtona
Druga zasada, ciężar, tarcie, równia pochyła, siła dośrodkowa i popęd — wzór odwraca się sam.
Dynamika bryły sztywnej
Moment bezwładności, twierdzenie Steinera, moment siły, moment pędu i toczenie, ze wzorem, który sam się przekształca.
Grawitacja
Prawo powszechnego ciążenia, przyspieszenie grawitacyjne, prędkość orbitalna i ucieczki, III prawo Keplera i energia potencjalna grawitacji.