Physik
Rechner für geometrische Optik: dünne Linsen und sphärische Spiegel
Wähle die Beziehung und lösche die gesuchte Größe. Es gilt durchweg die Gaußsche Konvention: p positiv für einen reellen Gegenstand, q positiv für ein reelles Bild, f positiv für alles Sammelnde. Zerstreuungslinsen und virtuelle Bilder ergeben sich von selbst – mit einem Minuszeichen.
Eine einzige Gleichung – und die Vorzeichen, die sie tragen
Die geometrische Optik ist eines der sparsamsten Kapitel der Physik: eine einzige Formel, 1/f = 1/p + 1/q, deckt Sammel- und Zerstreuungslinsen, Hohl- und Wölbspiegel, reelle und virtuelle Bilder ab. Die ganze Schwierigkeit ist in die Vorzeichen gewandert, und dort landen fast alle Fehler. Es gibt nicht zwei Formeln, eine für die Sammellinse und eine für die Zerstreuungslinse: es gibt eine Formel und eine ausnahmslos angewandte Konvention.
Die Gaußsche Konvention sagt: p ist positiv für einen reellen Gegenstand vor dem Element, q ist positiv für ein reelles Bild auf der anderen Seite einer Linse, und f ist positiv für alles, was sammelt. Alles Übrige folgt daraus: liefert die Rechnung ein negatives q, ist das Bild virtuell und liegt auf der Gegenstandsseite; kein Schirm fängt es auf, das Auge sieht es aber bestens – genau das ist die Lupe.
Der Abbildungsmaßstab m = −q/p trägt zwei Auskunftsstücke in einer Zahl. Sein Betrag sagt, um wie viel größer oder kleiner das Bild ist; sein Vorzeichen sagt, ob es aufrecht steht oder auf dem Kopf. Bei einer einzelnen Linse hängen beide starr zusammen: reell heißt umgekehrt, virtuell heißt aufrecht. Erst wenn man mehrere Elemente kombiniert – wie im Fernrohr – lösen sich die Kombinationen.
Häufige Fehler
- Für die Zerstreuungslinse die Formel wechseln: die Formel bleibt dieselbe, nur das Vorzeichen von f ändert sich. 1/f = 1/p − 1/q zu schreiben, damit es aufgeht, ist der schnellste Weg, alle folgenden Aufgaben zu verderben.
- Vergessen, dass die Brennweite des Spiegels der halbe Radius ist: f = R/2. Setzt man R statt f ein, verdoppelt sich die Bildweite.
- In der Linsenschleiferformel alle Radien positiv nehmen: bei einer Bikonvexlinse ist der zweite Radius negativ. Mit zwei gleichen positiven Radien liefert die Formel eine unendliche Brennweite – also eine planparallele Platte.
- Die Brennweiten zweier aneinanderliegender Linsen addieren: addiert werden die Brechkräfte, nicht die Brennweiten. Zwei 50-cm-Linsen ergeben zusammen 4 Dioptrien, also 25 cm und nicht 100 cm.
Häufige Fragen
Wie lautet die Linsengleichung?
1/f = 1/p + 1/q, wobei f die Brennweite, p die Gegenstandsweite und q die Bildweite ist. Dieselbe Gleichung gilt für sphärische Spiegel, mit f = R/2.
Woran erkenne ich, ob ein Bild reell oder virtuell ist?
Am Vorzeichen von q. Ist q positiv, ist das Bild reell: die Strahlen treffen sich dort wirklich und ein Schirm fängt es auf. Ist q negativ, ist das Bild virtuell, liegt auf der Gegenstandsseite und ist nur beim Blick durch die Linse zu sehen.
Was bedeutet ein negativer Abbildungsmaßstab?
Dass das Bild gegenüber dem Gegenstand auf dem Kopf steht. Der Betrag gibt die Skalierung an: m = −2 bedeutet doppelt so groß und umgekehrt, m = 0,5 bedeutet halb so groß und aufrecht.
Was sind Dioptrien?
Die Brechkraft ist der Kehrwert der Brennweite in Metern: D = 1/f. Eine 50-cm-Linse hat 2 Dioptrien. Der Vorteil: bei dünnen, aneinanderliegenden Linsen addieren sich die Dioptrien algebraisch.
Warum erzeugt ein Wölbspiegel kein reelles Bild?
Weil seine Brennweite negativ ist: die reflektierten Strahlen laufen auseinander und treffen sich nie. Das Bild ist stets virtuell, aufrecht und verkleinert – deshalb dient er als Überwachungsspiegel und als Weitwinkel-Rückspiegel.
Wie diese Berechnung funktioniert
Gleichung für dünne Linsen und sphärische Spiegel: 1/f = 1/p + 1/q, also f = pq/(p+q), q = fp/(p−f) und p = fq/(q−f). Sphärischer Spiegel: f = R/2. Linsenschleiferformel: 1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂), Radien positiv, wo sich die Fläche dem Gegenstand entgegenwölbt. Transversaler Abbildungsmaßstab: m = −q/p = h'/h. Brechkraft: D = 1/f mit f in Metern; bei dünnen aneinanderliegenden Linsen addieren sich die Brechkräfte. Vorzeichenkonvention: p > 0 reeller Gegenstand, q > 0 reelles Bild, f > 0 sammelndes Element; ein negatives Ergebnis bedeutet entsprechend virtueller Gegenstand, virtuelles Bild oder zerstreuendes Element.
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