Matematyka
Kalkulator potęg i wykładników
Podstawa i wykładnik: wynik pojawia się z rozpisaniem jak na tablicy, wykresem y = aˣ i linijką, która pokazuje, jak duża naprawdę jest liczba.
Jak działają potęgi
Potęga o wykładniku naturalnym to wielokrotne mnożenie: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Przy wykładniku zero wynik zawsze wynosi 1, bo aⁿ / aⁿ = a⁰. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: 10⁻³ = 1/10³ = 0,001.
Wykładnik ułamkowy oznacza pierwiastek: a^(1/2) to pierwiastek kwadratowy, a^(1/3) sześcienny, a 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8. Dlatego ujemna podstawa z wykładnikiem 1/2 nie ma wyniku rzeczywistego, a z 1/3 tak: pierwiastek sześcienny z −8 to −2.
Wzrost wykładniczy zawsze zaskakuje: 2¹⁰ przekracza tysiąc, 2²⁰ milion, a 2¹⁰⁰ ma 31 cyfr. Linijka rzędów wielkości pomaga to sobie wyobrazić, a wykres pokazuje, jak podstawa nieco większa od 1, np. 1,05, rośnie najpierw powoli, a potem coraz szybciej.
Częste błędy
- Mylenie −2² z (−2)²: pierwsze to −4, drugie 4.
- Mnożenie podstawy przez wykładnik: 3⁴ to 81, nie 12.
- Myślenie, że wykładnik ujemny daje wynik ujemny: 2⁻³ to 0,125.
Najczęstsze pytania
Ile to jest 0 do potęgi 0?
To symbol nieoznaczony: w algebrze często przyjmuje się 1 dla wygody, ale jako granica może dążyć do różnych wartości.
Jak obliczyć potęgę z wykładnikiem dziesiętnym?
Zapisuje się wykładnik jako ułamek: a^0,75 = a^(3/4) = (⁴√a)³. Dla wykładników niewymiernych aⁿ = e^(n·ln a).
Jakie są własności potęg?
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ oraz (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Obowiązują dla dodatnich podstaw, a przy wykładnikach całkowitych dla każdej podstawy.
Jak działa to obliczenie
Wartość to |a|ⁿ liczone zmiennoprzecinkowo, ujemne, gdy podstawa jest ujemna, a wykładnik jest nieparzystą liczbą całkowitą lub ułamkiem o nieparzystym liczniku i mianowniku. Gdy wynik przekracza zakres liczby podwójnej precyzji, pokazuje się go w notacji naukowej na podstawie log₁₀|aⁿ| = n·log₁₀|a|.