Mathematik
Rechner für Potenzen und Exponenten
Basis und Exponent: Das Ergebnis erscheint mit dem Rechenweg, wie man ihn an die Tafel schreibt, dem Graphen von y = aˣ und einem Lineal, das zeigt, wie groß die Zahl wirklich ist.
So funktionieren Potenzen
Eine Potenz mit positivem ganzem Exponenten ist eine wiederholte Multiplikation: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Mit dem Exponenten null ist das Ergebnis immer 1, denn aⁿ / aⁿ = a⁰. Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert: 10⁻³ = 1/10³ = 0,001.
Ein gebrochener Exponent steht für eine Wurzel: a^(1/2) ist die Quadratwurzel, a^(1/3) die dritte Wurzel, und 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8. Deshalb hat eine negative Basis mit Exponent 1/2 kein reelles Ergebnis, mit 1/3 aber schon: Die dritte Wurzel aus −8 ist −2.
Exponentielles Wachstum überrascht immer wieder: 2¹⁰ übersteigt tausend, 2²⁰ eine Million, und 2¹⁰⁰ hat 31 Stellen. Das Lineal der Größenordnungen hilft bei der Vorstellung, und der Graph zeigt, wie eine Basis knapp über 1, etwa 1,05, erst langsam und dann immer schneller wächst.
Häufige Fehler
- −2² mit (−2)² verwechseln: Das erste ist −4, das zweite 4.
- Basis und Exponent multiplizieren: 3⁴ ist 81, nicht 12.
- Glauben, ein negativer Exponent ergebe ein negatives Ergebnis: 2⁻³ ist 0,125.
Häufige Fragen
Was ist 0 hoch 0?
Ein unbestimmter Ausdruck: In der Algebra setzt man ihn oft der Einfachheit halber gleich 1, als Grenzwert kann er aber gegen verschiedene Werte streben.
Wie rechnet man eine Potenz mit Dezimalexponent?
Man schreibt den Exponenten als Bruch: a^0,75 = a^(3/4) = (⁴√a)³. Für irrationale Exponenten gilt aⁿ = e^(n·ln a).
Welche Potenzgesetze gibt es?
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ und (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Sie gelten für positive Basen und, mit ganzzahligen Exponenten, für jede Basis.
So funktioniert diese Berechnung
Der Wert ist |a|ⁿ in Gleitkommarechnung, negativ, wenn die Basis negativ und der Exponent eine ungerade ganze Zahl oder ein Bruch mit ungeradem Zähler und Nenner ist. Übersteigt das Ergebnis den Bereich einer Zahl doppelter Genauigkeit, wird es aus log₁₀|aⁿ| = n·log₁₀|a| in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt.
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