Betriebswirtschaft
Direkte und umgekehrte proportionale Verteilung
Gib den zu verteilenden Betrag und die Quoten ein: du erhältst die Anteile, den Einheitswert und die Probe, dass die Summe aufgeht. Die umgekehrte Verteilung gibt der kleineren Quote mehr.
Wann die Verteilung direkt und wann umgekehrt ist
Die direkte Verteilung teilt einen Betrag in Teile proportional zu vorgegebenen Quoten: wer die größere Quote hat, erhält den größeren Anteil. Dazu gehören Gewinne nach eingebrachtem Kapital, eine Prämie nach gearbeiteten Tagen, Nebenkosten nach Wohnfläche. Der Mechanismus ist immer derselbe: Quoten addieren, den Betrag durch diese Summe teilen — das ergibt den Einheitswert — und den Einheitswert mit jeder Quote multiplizieren.
Die umgekehrte Verteilung dreht das Verhältnis um: die größere Quote erhält den kleineren Anteil, weil die Anteile proportional zu den Kehrwerten der Quoten sind. Das wirkt widersinnig, bis man ein konkretes Beispiel ansieht. Teilen drei Abteilungen Wartungskosten nach der Zahl der Störungen, ist die Verteilung direkt. Teilen sie dieselben Kosten nach der Entfernung zur Anlage, ist sie umgekehrt: wer weiter weg ist, nutzt die Anlage weniger und zahlt weniger.
Die Probe bleibt immer dieselbe und sollte jedes Mal gemacht werden: die Summe der Anteile muss dem Ausgangsbetrag entsprechen. Geht sie nicht auf, liegt entweder ein Rundungsfehler vor — dann sind es wenige Cent — oder eine Quote wurde falsch gelesen.
Häufige Fehler
- Die direkte Verteilung nehmen, wo die umgekehrte nötig wäre: die Frage lautet, ob wer die größere Zahl hat, mehr oder weniger bekommen soll. Soll er weniger bekommen, ist die Verteilung umgekehrt.
- Den Betrag durch die Anzahl der Quoten teilen statt durch ihre Summe: das ist eine Gleichverteilung, keine proportionale.
- Jeden Anteil einzeln runden, ohne die Summe zu prüfen: bei drei oder mehr Quoten summieren sich die Rundungen, und die Summe kann um einige Cent abweichen, die einem der Anteile zugeschlagen werden müssen.
Häufige Fragen
Wie macht man eine direkte proportionale Verteilung?
Quoten addieren, den Gesamtbetrag durch diese Summe teilen — das ergibt den Einheitswert — und den Einheitswert mit jeder Quote multiplizieren. Bei 6.000 Euro und den Quoten 2, 3 und 5 ist der Einheitswert 600 und die Anteile sind 1.200, 1.800 und 3.000.
Wie macht man eine umgekehrte Verteilung?
Man ersetzt jede Quote durch ihren Kehrwert und verfährt wie bei der direkten Verteilung. So geht der größte Anteil an die kleinste Quote.
Wann verwendet man die umgekehrte Verteilung?
Wenn die Bezugsgröße dem Nutzen oder der Verantwortung entgegenläuft: Entfernung, aufgewendete Zeit, in manchen Versicherungsfragen auch Dauer. Die praktische Prüfung lautet, ob eine größere Zahl einen kleineren Anteil bedeuten soll.
Was ist der Einheitswert?
Was eine einzelne Quoteneinheit wert ist, also der Gesamtbetrag geteilt durch die Summe der Koeffizienten. Mit jedem Koeffizienten multipliziert ergibt er den zugehörigen Anteil, und er macht die Kontrolle der Rechnung unmittelbar.
Wie diese Berechnung funktioniert
Direkte Verteilung eines Betrags T auf Quoten q₁, q₂, … qₙ: Einheitswert u = T / (q₁ + q₂ + … + qₙ); Anteil i ist Aᵢ = u · qᵢ. Umgekehrte Verteilung: jede Quote wird durch ihren Kehrwert ersetzt, also u = T / (1/q₁ + 1/q₂ + … + 1/qₙ) und Aᵢ = u / qᵢ. In beiden Fällen gilt die Probe ΣAᵢ = T. Die umgekehrte Verteilung verlangt Quoten ungleich null, da null keinen Kehrwert hat. Die zusammengesetzte Verteilung, hier nicht abgedeckt, multipliziert die Quoten zweier oder mehrerer Kriterien, bevor die direkte Formel angewandt wird.