Mathematik
Prozentrechner
Fünf Prozentrechnungen auf einer Seite: wie viel ein Prozentsatz ausmacht, welcher Prozentsatz vorliegt, was nach einer Veränderung herauskommt, wie stark sich etwas verändert hat und wie viel es vorher war.
Wie man Prozente berechnet
Ein Prozentsatz ist schlicht ein Bruch mit dem Nenner 100: 20 % sind 20/100, also 0,2. Alles Weitere folgt daraus. 20 % von 150 erhält man, indem man 150 mit 0,2 multipliziert, das ergibt 30. Um zu wissen, welcher Prozentsatz 30 von 150 ist, bildet man das Verhältnis 30/150 = 0,2 und multipliziert mit 100.
Aufschläge und Rabatte wendet man durch Multiplikation mit einem Faktor an statt in zwei Schritten: Ein Aufschlag von 20 % ist × 1,20, ein Rabatt von 20 % ist × 0,80. Diese Form ist bequemer, wenn sich Veränderungen häufen: Zwei aufeinanderfolgende Rabatte von 20 % ergeben keine 40 %, sondern × 0,80 × 0,80 = × 0,64, also insgesamt 36 % Rabatt.
Die Rückrechnung ist der Fall, bei dem die meisten Fehler passieren. Enthält ein Preis von 119 € eine Mehrwertsteuer von 19 %, so ist der Nettobetrag nicht 119 minus 19 % von 119 (das ergäbe 96,39 €), sondern 119 geteilt durch 1,19, also 100 €. Der Grund: Der Prozentsatz war auf den Ausgangswert bezogen, nicht auf den Endwert — man dividiert zurück durch den Faktor, statt denselben Anteil abzuziehen.
Die prozentuale Veränderung zwischen zwei Werten bezieht sich immer auf den Anfangswert. Von 80 auf 100 ist ein Anstieg von 25 % (20/80); von 100 auf 80 ein Rückgang von 20 % (−20/100). Sie sind nicht symmetrisch, und deshalb muss ein Kurs, der 50 % verliert, anschließend 100 % gewinnen, um wieder auf dem Ausgangsniveau zu sein.
Häufige Fehler
- Den Prozentsatz vom Endpreis abziehen, um Mehrwertsteuer oder Rabatt herauszurechnen: Das Ergebnis liegt immer zu niedrig, und der Fehler wächst mit dem Satz.
- Zwei aufeinanderfolgende prozentuale Veränderungen addieren statt die Faktoren zu multiplizieren: +10 % gefolgt von +10 % ergibt +21 %, nicht +20 %.
- Die Veränderung auf den Endwert statt auf den Anfangswert beziehen: Das vertauscht den Nenner und liefert einen anderen Prozentsatz.
- Prozentpunkte und Prozent verwechseln: Von 4 % auf 6 % ist ein Anstieg um 2 Prozentpunkte, relativ aber um 50 %.
- Einen Rabatt auf den Bruttopreis anwenden, obwohl er auf den Nettobetrag vereinbart war: Die Reihenfolge der beiden Rechenschritte verändert den Endbetrag.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Prozentsatz einer Zahl?
Man teilt den Prozentsatz durch 100 und multipliziert mit der Zahl. 15 % von 200 sind 200 × 0,15 = 30. Alternativ teilt man die Zahl durch 100 und multipliziert mit dem Prozentsatz: Das Ergebnis ist identisch.
Wie rechnet man die Mehrwertsteuer aus einem Preis heraus?
Man teilt den Bruttopreis durch 1 plus den Steuersatz. Bei 19 % Mehrwertsteuer entspricht ein Preis von 119 € einem Nettobetrag von 119 / 1,19 = 100 €, die Steuer ist die Differenz von 19 €. 19 % von den 119 € abzuziehen ergäbe ein falsches Ergebnis.
Wie berechnet man die prozentuale Veränderung zwischen zwei Werten?
Veränderung = (Endwert − Anfangswert) / Anfangswert × 100. Von 80 auf 100 beträgt die Veränderung (100 − 80) / 80 = +25 %. Das Vorzeichen zeigt an, ob es sich um einen Anstieg oder einen Rückgang handelt.
Entsprechen zwei Rabatte von 10 % einem Rabatt von 20 %?
Nein. Der zweite Rabatt bezieht sich auf den bereits reduzierten Preis, der Gesamtfaktor ist also 0,90 × 0,90 = 0,81: Der effektive Rabatt beträgt 19 %, nicht 20 %. Für aufeinanderfolgende Aufschläge gilt dasselbe in umgekehrter Richtung.
Was ist der Unterschied zwischen Prozentpunkten und Prozent?
Prozentpunkte messen die Differenz zwischen zwei Prozentsätzen, Prozent misst deren relative Veränderung. Ein Satz, der von 2 % auf 3 % steigt, wächst um 1 Prozentpunkt, aber um 50 %.
So funktioniert diese Berechnung
Prozent von einem Gesamtwert: Ergebnis = Gesamtwert × Prozentsatz / 100. Welcher Prozentsatz: Prozentsatz = Teil / Gesamtwert × 100. Aufschlag oder Rabatt: Ergebnis = Betrag × (1 ± Prozentsatz / 100). Veränderung zwischen zwei Werten: Veränderung = (Endwert − Anfangswert) / |Anfangswert| × 100. Rückrechnung: Anfangswert = Endbetrag / (1 ± Prozentsatz / 100). Die letzte Formel dividiert durch den Faktor, gerade weil der Prozentsatz auf den Ausgangswert bezogen war.
Verwandte Rechner
Bruchrechnen
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen, vollständig gekürzt.
Verhältnisgleichungen
Fehlendes Glied, vierte Proportionale, geometrisches Mittel und dritte Proportionale.
ggT und kgV
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches mit Primfaktorzerlegung.
Maßeinheiten-Umrechner
Zehn Einheitenkategorien, von der Länge bis zum Druck, mit vollständiger Umrechnungstabelle.