Mathematik
Konfidenzintervall-Rechner
Mittelwert, Standardabweichung und Anzahl der Beobachtungen: Das Intervall erscheint sofort, mit der Kurve und einer Simulation von zwanzig Stichproben, die zeigt, was 95 % wirklich bedeutet.
So liest man ein Konfidenzintervall
Ein 95-%-Konfidenzintervall wird mit einem Verfahren gebildet, das über viele Stichproben wiederholt in 95 % der Fälle den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit enthält. Die Simulation oben zeigt es: Jede Zeile ist eine andere Stichprobe, und meist verfehlt eine von zwanzig das Ziel.
Die Breite hängt von drei Dingen ab: der Streuung der Daten, gemessen durch die Standardabweichung; der Anzahl der Beobachtungen, denn der Standardfehler ist σ/√n; und dem Konfidenzniveau, denn mehr Sicherheit verbreitert das Intervall. Um die Fehlermarge zu halbieren, braucht man viermal so viele Beobachtungen.
Beispiel: 40 Studierende mit einer mittleren Größe von 172,5 cm und einer Standardabweichung von 7,2 cm. Der Standardfehler ist 7,2/√40 ≈ 1,14 cm, der t-Wert bei 39 Freiheitsgraden etwa 2,02, und das 95-%-Intervall reicht von etwa 170,2 bis 174,8 cm.
Häufige Fehler
- Sagen, der Mittelwert liege mit 95 % Wahrscheinlichkeit im berechneten Intervall: Der Mittelwert ist fest, das Intervall schwankt von Stichprobe zu Stichprobe.
- z bei kleinen Stichproben und geschätzter Standardabweichung verwenden: Das Intervall wird zu schmal.
- Glauben, 95 % der Beobachtungen lägen im Intervall: Es betrifft den Mittelwert, nicht einzelne Werte.
Häufige Fragen
Was unterscheidet 95 % von 99 %?
Bei 99 % ist das Intervall breiter: Wer sicherer sein will, den Mittelwert zu treffen, nimmt weniger Genauigkeit in Kauf.
Wie viele Beobachtungen brauche ich?
Die Fehlermarge sinkt wie 1/√n: Für eine Marge E braucht man etwa (z·σ/E)² Beobachtungen.
Wann verwendet man die t-Verteilung?
Wenn die Standardabweichung aus denselben Daten berechnet wird, also fast immer. Ab etwa hundert Beobachtungen liefern t und z praktisch dasselbe.
So funktioniert diese Berechnung
Intervall = x̄ ± c · s/√n, wobei c das 1 − (1 − Niveau)/2-Quantil der Normalverteilung (z) oder der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden ist. Die Simulation zieht Stichproben aus n Werten einer Normalverteilung und bildet jedes Mal das Intervall mit demselben Verfahren.
Verwandte Rechner
Deskriptive Statistik
Mittelwert, Median, Modus, Standardabweichung, Quartile und Häufigkeitsverteilung.
p-Wert
Der p-Wert eines z- oder t-Tests, ein- oder zweiseitig, mit der Fläche unter der Kurve und der Entscheidung über H₀.
Wahrscheinlichkeit
Klassische und bedingte Wahrscheinlichkeit, Bayes und Binomialverteilung.