Flexion des poutres : moment, contrainte et flèche

Comment on vérifie une poutre

Une poutre se vérifie sur deux fronts, et en satisfaire un seul ne suffit pas. Le premier est la résistance : le moment fléchissant maximal engendre une contrainte σ = M/W, avec W le module de flexion, et cette contrainte doit rester sous celle qu'admet le matériau. Le second est la déformabilité : la flèche maximale doit rester dans une fraction de la portée, en général L/300 pour un plancher courant et L/500 lorsque des cloisons ou des vitrages en dessous souffriraient davantage.

Les quatre cas de base ont des formules fermées, et les rapports entre eux valent d'être retenus. Sur deux appuis sous charge répartie le moment maximal vaut wL²/8 à mi-portée ; en console sous la même charge il vaut wL²/2 à l'encastrement, quatre fois plus. La flèche suit le même ordre mais amplifié : 5wL⁴/384EI contre wL⁴/8EI, près de dix fois. Une console est une structure bien plus exigeante que la même portée sur appuis, et l'écart n'est pas intuitif.

La hauteur est le levier qui compte. Le moment quadratique d'un rectangle vaut bh³/12 et le module de flexion bh²/6 : doubler la hauteur divise la contrainte par quatre et la flèche par huit, tandis que doubler la largeur ne fait que les diviser par deux. C'est pourquoi les profilés sont hauts et minces, et pourquoi une solive se pose sur chant et non à plat.

Erreurs fréquentes

Ne vérifier que la contrainte. Une poutre acier très élancée peut être largement sûre en résistance et inacceptable en flèche : dans les planchers acier c'est presque toujours la déformabilité qui dimensionne, non la résistance.
Oublier le poids propre. La charge saisie ici est celle que vous déclarez : le poids de la poutre elle-même et du complexe de plancher doit s'ajouter à la charge répartie, il n'est pas inclus d'office.
Confondre moment quadratique et module de flexion. Le moment quadratique, en cm⁴, gouverne la flèche ; le module de flexion, en cm³, gouverne la contrainte. Ils sont liés par W = I/c, avec c la distance à la fibre extrême.

Questions fréquentes

Quelle limite de flèche s'applique ?

Pour les planchers courants, L/300 sous la charge totale est la valeur usuelle. Elle passe à L/500 lorsque la poutre porte des cloisons, des menuiseries ou des finitions fragiles qu'un déplacement plus grand fissurerait. Pour une console la limite se rapporte au double du porte-à-faux.

Pourquoi la hauteur compte-t-elle plus que la largeur ?

Parce qu'elle intervient au cube dans le moment quadratique et au carré dans le module de flexion, alors que la largeur n'intervient que linéairement. Doubler la hauteur divise la flèche par huit ; doubler la largeur ne la divise que par deux.

Comment calcule-t-on le module de flexion ?

W = I/c, le moment quadratique divisé par la distance de l'axe neutre à la fibre la plus éloignée. Pour un rectangle il vaut bh²/6. Les tables de profilés acier le donnent directement sous Wel.

Quel est le module d'élasticité des matériaux courants ?

Acier 210000 MPa, aluminium 70000, béton de 28000 à 35000 selon la classe, lamellé-collé de 8000 à 12000, bois massif environ 10000. Le module gouverne la flèche, pas la résistance.

Ce calcul suffit-il pour un projet ?

Non. C'est un calcul élastique linéaire sur des schémas isostatiques : il exclut le poids propre, les coefficients partiels de sécurité, les combinaisons de charges, le déversement et les vérifications aux états limites. Il sert au prédimensionnement et au contrôle d'ordre de grandeur.

Comment fonctionne ce calcul

Section rectangulaire : moment quadratique I = bh³/12, distance à la fibre extrême c = h/2, module de flexion W = I/c = bh²/6. Sur deux appuis sous charge répartie w : moment maximal wL²/8 à mi-portée, effort tranchant maximal wL/2 aux appuis, flèche 5wL⁴/(384EI). Sur deux appuis sous charge ponctuelle P à mi-portée : moment PL/4, effort tranchant P/2, flèche PL³/(48EI). En console sous charge répartie : moment wL²/2 à l'encastrement, effort tranchant wL, flèche wL⁴/(8EI). En console sous charge ponctuelle à l'extrémité : moment PL, effort tranchant P, flèche PL³/(3EI). Contrainte maximale : σ = M/W. Rapport de déformabilité : portée divisée par la flèche, comparée à la limite indiquée. Les diagrammes échantillonnent le moment et l'effort tranchant le long de la portée, avec un moment nul aux appuis d'une poutre sur appuis et à l'extrémité libre d'une console.

Mouvement rectiligne et balistique

Mouvement uniforme, uniformément accéléré, chute libre et lancer oblique.

Dynamique et lois de Newton

Deuxième loi, poids, frottement, plan incliné, force centripète et impulsion, avec la formule qui s'inverse d'elle-même.

Chocs et quantité de mouvement

Chocs frontaux élastiques, inélastiques et intermédiaires : vitesses finales, énergie perdue et impulsion.

Dynamique de rotation

Moment d'inertie, théorème de Huygens, moment d'une force, moment cinétique et roulement, avec la formule qui s'inverse toute seule.