Biegung eines Trägers: Moment, Spannung und Durchbiegung

Wie ein Träger nachgewiesen wird

Ein Träger wird auf zwei Feldern nachgewiesen, und eines allein genügt nicht. Das erste ist die Tragfähigkeit: das größte Biegemoment erzeugt die Spannung σ = M/W, mit W dem Widerstandsmoment, und diese Spannung muss unter der zulässigen des Werkstoffs bleiben. Das zweite ist die Gebrauchstauglichkeit: die größte Durchbiegung muss innerhalb eines Bruchteils der Stützweite bleiben, üblich L/300 bei einer gewöhnlichen Decke und L/500, wo darunter Trennwände oder Verglasungen stehen, die mehr Verformung beschädigen würde.

Die vier Grundfälle haben geschlossene Formeln, und ihr Verhältnis lohnt sich zu merken. Beidseitig aufgelagert unter Gleichlast beträgt das größte Moment wL²/8 in Feldmitte; ein Kragträger unter derselben Last trägt wL²/2 an der Einspannung, viermal so viel. Die Durchbiegung folgt derselben Ordnung, nur verstärkt: 5wL⁴/384EI gegen wL⁴/8EI, fast das Zehnfache. Ein Kragträger ist ein weit anspruchsvolleres Tragwerk als dieselbe Stützweite auf zwei Auflagern, und der Abstand ist nicht anschaulich.

Die Höhe ist der entscheidende Hebel. Das Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks ist bh³/12, das Widerstandsmoment bh²/6: eine Verdopplung der Höhe viertelt die Spannung und achtelt die Durchbiegung, während eine Verdopplung der Breite beides nur halbiert. Deshalb sind Profile hoch und schlank, und deshalb wird ein Balken hochkant und nicht flach verlegt.

Häufige Fehler

Nur die Spannung nachweisen. Ein sehr schlanker Stahlträger kann bei der Festigkeit reichlich Reserve haben und bei der Durchbiegung durchfallen: bei Stahldecken bemisst fast immer die Steifigkeit, nicht die Tragfähigkeit.
Das Eigengewicht vergessen. Die hier eingetragene Last ist die angegebene: das Gewicht des Trägers selbst und des Deckenaufbaus muss zur Gleichlast addiert werden, es kommt nicht von allein hinzu.
Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment verwechseln. Das Flächenträgheitsmoment in cm⁴ bestimmt die Durchbiegung, das Widerstandsmoment in cm³ die Spannung. Sie hängen über W = I/c zusammen, mit c dem Randfaserabstand.

Häufige Fragen

Welche Durchbiegungsgrenze gilt?

Für gewöhnliche Decken ist L/300 unter der Gesamtlast der übliche Wert. Er verschärft sich auf L/500, wo der Träger Trennwände, Verglasungen oder spröde Oberflächen trägt, die mehr Bewegung reißen ließe. Bei Kragträgern bezieht sich die Grenze auf die doppelte Auskragung.

Warum zählt die Höhe mehr als die Breite?

Weil sie im Flächenträgheitsmoment in der dritten und im Widerstandsmoment in der zweiten Potenz steht, die Breite dagegen nur linear. Eine Verdopplung der Höhe achtelt die Durchbiegung, eine Verdopplung der Breite halbiert sie nur.

Wie wird das Widerstandsmoment berechnet?

W = I/c, das Flächenträgheitsmoment geteilt durch den Abstand von der Nulllinie zur äußersten Faser. Für ein Rechteck ist es bh²/6. In Stahlprofiltafeln steht es direkt als Wel oder Wy.

Wie groß ist der Elastizitätsmodul gebräuchlicher Werkstoffe?

Stahl 210000 MPa, Aluminium 70000, Beton je nach Klasse 28000 bis 35000, Brettschichtholz 8000 bis 12000, Vollholz etwa 10000. Der Modul bestimmt die Durchbiegung, nicht die Festigkeit.

Reicht diese Rechnung für einen Entwurf?

Nein. Es ist eine linear elastische Rechnung an statisch bestimmten Systemen: Eigengewicht, Teilsicherheitsbeiwerte, Lastkombinationen, Biegedrillknicken und Grenzzustandsnachweise fehlen. Sie dient der Vorbemessung und der Größenordnungskontrolle.

Wie diese Berechnung funktioniert

Rechteckquerschnitt: Flächenträgheitsmoment I = bh³/12, Randfaserabstand c = h/2, Widerstandsmoment W = I/c = bh²/6. Beidseitig aufgelagert unter Gleichlast w: größtes Moment wL²/8 in Feldmitte, größte Querkraft wL/2 an den Auflagern, Durchbiegung 5wL⁴/(384EI). Beidseitig aufgelagert unter Einzellast P in Feldmitte: Moment PL/4, Querkraft P/2, Durchbiegung PL³/(48EI). Kragträger unter Gleichlast: Moment wL²/2 an der Einspannung, Querkraft wL, Durchbiegung wL⁴/(8EI). Kragträger unter Einzellast am freien Ende: Moment PL, Querkraft P, Durchbiegung PL³/(3EI). Größte Spannung: σ = M/W. Steifigkeitsverhältnis: Stützweite geteilt durch Durchbiegung, verglichen mit der angegebenen Grenze. Die Diagramme tasten Moment und Querkraft über die Stützweite ab, mit Moment null an den Auflagern eines Einfeldträgers und am freien Ende eines Kragträgers.

Geradlinige Bewegung und schiefer Wurf

Gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung, freier Fall und schiefer Wurf.

Dynamik und Newtonsche Gesetze

Zweites Gesetz, Gewichtskraft, Reibung, schiefe Ebene, Zentripetalkraft und Kraftstoß — die Formel stellt sich selbst um.

Stöße und Impuls

Zentrale Stöße, elastisch, unelastisch und dazwischen: Endgeschwindigkeiten, verlorene Energie und Kraftstoß.

Rotationsdynamik

Trägheitsmoment, Satz von Steiner, Drehmoment, Drehimpuls und Rollbewegung, mit der Formel, die sich selbst umstellt.